Examen de Desarrollo · Sistemas Digitales

1º Ingeniería Informática · UAX · Convocatoria extraordinaria · Suplemento de problemas abiertos (complemento del pack tipo test)

Formato del examen real (visto hoy en Física): 3 problemas de desarrollo en 80 minutos, puntuados 40 / 30 / 30 sobre 100. Hay que derivar y justificar cada paso: tabla de verdad completa, mapa de Karnaugh con los grupos marcados, cada paso algebraico con su teorema, y las cuentas de memoria y de Ca2 explicadas.

Cómo usar este documento: aquí tienes 11 problemas que cubren todo el temario. Cada uno lleva la puntuación con la que caería en el examen real (los de "tipo 40 p" son los largos de diseño). Simulacro recomendado (80 min): elige un problema de 40 p + dos de 30 p, por ejemplo P1 + P4 + P8, o P2 + P9 + P10. Notación: en los mapas de Karnaugh las columnas van en código Gray (00, 01, 11, 10) y la variable A es la de mayor peso del mintérmino.

Problema 1 · Diseño combinacional completo: sistema de alarma 40 puntos

Una vivienda tiene una alarma con cuatro entradas binarias: A (sistema armado), P (sensor de puerta abierta), V (sensor de ventana abierta) y M (detector de movimiento). La sirena F debe sonar (F = 1) cuando:

el sistema está armado y se activa al menos uno de los tres sensores (P, V o M), o bien
aunque el sistema esté desarmado, se activan los tres sensores a la vez (protección antisabotaje).

Tome A como variable de mayor peso y M como la de menor (mintérmino = 8·A + 4·P + 2·V + 1·M).

a) (8 p) Construya la tabla de verdad completa (16 filas) razonando a partir del enunciado.

b) (4 p) Exprese F como suma de mintérminos, F = Σm(...).

c) (10 p) Simplifique F mediante mapa de Karnaugh (columnas AP en Gray, filas VM en Gray). Dibuje el mapa, marque los grupos e indique el término de cada grupo. Justifique que la expresión obtenida es mínima.

d) (8 p) Dibuje (o describa con precisión, etapa por etapa) el circuito con puertas AND, OR y NOT de la expresión mínima, indicando el número de puertas y de entradas de cada una.

e) (10 p) Vuelva a implementar la expresión mínima usando únicamente puertas NAND. Justifique la transformación aplicando la doble negación y De Morgan, y dibuje/describa el circuito resultante.

Problema 2 · Diseño combinacional completo: riego automático 40 puntos

Un sistema de riego de jardín tiene cuatro entradas: M (interruptor de modo manual), H (sensor que vale 1 cuando la humedad del suelo es baja), D (sensor de luz: vale 1 si es de día) y S (sensor que vale 1 si el depósito tiene agua). La electroválvula de riego R debe abrirse (R = 1) cuando hay agua en el depósito y, además, se cumple una de estas dos condiciones:

el modo manual está activado (riega el jardinero cuando quiere), o bien
la humedad es baja y es de noche (regar de día evapora el agua).

Sin agua en el depósito no se riega nunca. Tome M como variable de mayor peso y S como la de menor (mintérmino = 8·M + 4·H + 2·D + 1·S).

a) (8 p) Construya la tabla de verdad completa (16 filas).

b) (4 p) Exprese R como suma de mintérminos.

c) (10 p) Simplifique por Karnaugh (columnas MH, filas DS, ambas en Gray). Dibuje el mapa con los grupos y obtenga la expresión mínima en suma de productos.

d) (8 p) Describa el circuito con puertas AND/OR/NOT de la expresión mínima.

e) (10 p) Impleméntelo solo con puertas NAND (recuerde que el inversor también debe ser una NAND). Justifique cada transformación.

Problema 3 · SOP y POS mínimas + demostración algebraica 30 puntos

Dada la siguiente tabla de verdad de F(A, B, C) (A de mayor peso):

A	B	C	F
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

a) (10 p) Escriba F como Σm(...) y obtenga la SOP mínima (suma de productos) mediante mapa de Karnaugh, dibujando el mapa y los grupos de unos.

b) (10 p) Obtenga la POS mínima (producto de sumas) agrupando los ceros en el mismo mapa. Indique F = ΠM(...) y el término suma de cada grupo.

c) (10 p) Demuestre algebraicamente que la POS del apartado (b) es equivalente a la SOP del apartado (a), desarrollando el producto y nombrando el teorema del álgebra de Boole usado en cada paso.

Problema 4 · Karnaugh con condiciones libres (don't cares) 30 puntos

Un circuito recibe un dígito decimal codificado en BCD natural con cuatro bits A B C D (A de mayor peso). La salida F debe valer 1 cuando el dígito es mayor o igual que 6. Las combinaciones binarias 1010 a 1111 (valores 10 a 15) no pueden aparecer nunca en la entrada, por ser códigos BCD inválidos.

a) (8 p) Construya la tabla de verdad indicando con X las condiciones libres, y exprese F como Σm(...) + d(...).

b) (10 p) Obtenga la SOP mínima por Karnaugh aprovechando las X. Indique explícitamente qué X ha usado como 1 y por qué conviene.

c) (8 p) Obtenga la POS mínima agrupando los ceros (decida qué X usa como 0).

d) (4 p) Compruebe algebraicamente que ambas expresiones coinciden.

Problema 5 · Álgebra de Boole y De Morgan 30 puntos

Simplifique al máximo las siguientes expresiones. En cada paso debe escribir el nombre del teorema o propiedad aplicada (distributiva, absorción, consenso, De Morgan, complemento, elemento neutro/dominante, idempotencia, doble negación...). Una simplificación correcta sin justificar puntúa la mitad.

a) (10 p) F₁ = A·B + A·B·C + A·C

b) (10 p) F₂ = (A + B) · (C·D) (negación global de todo el producto; el segundo factor es la negación de C·D)

c) (10 p) F₃ = A·B + A·C + B·C. Simplifique y, además, demuestre con la tabla de verdad que el término eliminado era redundante.

Problema 6 · Sumador completo y sumador de 4 bits 30 puntos

Se quiere diseñar un sumador completo (full adder) de 1 bit con entradas A, B y acarreo de entrada C_in, y salidas S (suma) y C_out (acarreo de salida).

a) (8 p) Construya la tabla de verdad de S y C_out razonando qué significa cada fila (¿cuánto suman los tres bits?).

b) (10 p) Obtenga las expresiones mínimas de S y de C_out. Para C_out use Karnaugh; para S explique por qué el mapa no permite agrupar y exprese S con puertas XOR.

c) (6 p) Describa el circuito del sumador completo con puertas (XOR, AND, OR).

d) (6 p) Explique cómo encadenar cuatro sumadores completos para sumar dos números de 4 bits (sumador con acarreo propagado / ripple-carry). Ilústrelo calculando 0101 + 0110 bit a bit, indicando el acarreo que entra y sale de cada etapa.

Problema 7 · Implementación con decodificador y con multiplexor 30 puntos

Sea la función F(A, B, C) = Σm(1, 2, 4, 7), con A de mayor peso.

a) (10 p) Impleméntela usando un decodificador 3:8 (salidas activas a nivel alto) y una única puerta adicional. Explique cómo se conectan A, B, C a las entradas de selección, qué salidas del decodificador se usan y por qué esto funciona (relación salida del decodificador ↔ mintérmino).

b) (10 p) Impleméntela con un multiplexor 8:1 sin ninguna puerta extra: indique qué se conecta a las entradas de selección S₂S₁S₀ y qué valor fijo (0 o 1) va a cada entrada de datos I₀...I₇. Justifíquelo.

c) (10 p) Repita con un multiplexor 4:1 usando A y B como selección y C como variable residual: deduzca, fila a fila de la tabla de verdad, qué debe conectarse a I₀, I₁, I₂ e I₃ (0, 1, C o C).

Problema 8 · Diseño de un sistema de memoria 30 puntos

Se dispone de chips de memoria RAM de 16K × 4 bits (16 384 palabras de 4 bits, con entrada de selección de chip CS). Se desea construir una memoria de 64 KiB organizada en palabras de 8 bits (es decir, 64K palabras × 8 bits).

a) (6 p) Calcule cuántas líneas de dirección y cuántas líneas de datos necesita el sistema completo, y cuántas líneas de dirección tiene cada chip. Justifique con potencias de 2.

b) (6 p) Calcule cuántos chips hacen falta (hágalo de dos formas: por capacidad total en bits y por organización filas × columnas).

c) (8 p) Explique la organización: cuántos chips en paralelo forman una palabra de 8 bits, cuántos bancos resultan, qué líneas de dirección van directamente a los chips y qué líneas van a la lógica de selección. Describa esa lógica (¿qué decodificador se usa y cómo se conecta a los CS?).

d) (10 p) Dibuje el mapa de direcciones en hexadecimal: dirección inicial y final de cada banco. Compruebe que la última dirección coincide con el total de palabras menos 1.

Problema 9 · Representación de la información y aritmética en Ca2 30 puntos

a) (10 p) Conversiones (muestre el método completo, no solo el resultado):

237₁₀ a binario (divisiones sucesivas), a octal y a hexadecimal (por agrupación de bits).
B5₁₆ a decimal y a binario.
110101,11₂ a decimal (pesos positivos y negativos).

b) (12 p) Trabajando en complemento a 2 con 8 bits, obtenga la representación de los operandos negativos y efectúe las tres operaciones. Para cada una indique el acarreo final (C), si hay desbordamiento (V) y justifique con la regla de los signos por qué el resultado es válido o no:

92 + 55
58 − 91 (como suma en Ca2)
(−87) + (−60)

c) (8 p) Rangos: determine razonadamente el rango representable con 8 bits en binario sin signo, en signo-magnitud y en Ca2; el rango de 12 bits en Ca2; y el número mínimo de bits necesario para representar −200 en Ca2.

Problema 10 · Biestables y contador síncrono 30 puntos

a) (8 p) Escriba la tabla característica del biestable D y la del biestable JK (entradas → Q⁺), y explique en una línea qué aporta el JK respecto al SR.

b) (16 p) Diseñe un contador síncrono ascendente módulo 8 (secuencia 000 → 001 → ... → 111 → 000) con tres biestables JK: tabla de transiciones estado actual → estado siguiente, tabla de excitación de cada J y K (usando la tabla de excitación del JK con sus X), mapas de Karnaugh de J₀, K₀, J₁, K₁, J₂, K₂ y expresiones mínimas. Compruebe la secuencia con al menos dos transiciones.

c) (6 p) Explique por qué este contador actúa como divisor de frecuencia: ¿qué frecuencia tiene la señal Q₀ respecto al reloj? ¿Y Q₂?

Problema 11 · Comparador de 2 bits (diseño desde el enunciado) 30 puntos

Diseñe un circuito que compare dos números de 2 bits, X = A₁A₀ y Y = B₁B₀, con una única salida G que vale 1 cuando X > Y. Tome el orden de pesos A₁ (8), A₀ (4), B₁ (2), B₀ (1) para numerar los mintérminos.

a) (10 p) Construya la tabla de verdad (16 filas) comparando los valores decimales de X e Y, y escriba G = Σm(...).

b) (12 p) Simplifique G por Karnaugh (columnas A₁A₀, filas B₁B₀, en Gray) dibujando el mapa y los grupos, y dé la expresión mínima.

c) (8 p) Describa el circuito con puertas e interprete cada término de la expresión mínima: ¿qué situación de la comparación detecta cada uno? Compruebe la expresión con los casos X=2, Y=1 y X=1, Y=3.

Recordatorio de método (vale para todos): 1) tabla de verdad sin saltarse filas; 2) mintérminos numerados con A de mayor peso; 3) Karnaugh con columnas en Gray 00-01-11-10 y grupos de tamaño potencia de 2, lo más grandes posible, aprovechando bordes y esquinas; 4) cada paso algebraico con su teorema; 5) en Ca2, el desbordamiento V se mira con los signos (¡no es lo mismo que el acarreo C!).